Les pavages
Introduction :
Les pavages périodiques simples
du plan s'obtiennent par translation, rotation ou symétrie binaire, ternaire ou
quaternaire. Ils peuvent se métamorphoser, un pavage se transformant
progressivement en un autre. On peut aussi réaliser des pavages dans un espace.
De nombreux exemples seront
empruntés au graveur hollandais Maurits Cornelis Escher. On note également
l’artiste Raoul Rabat dont les pavages ont pour lui aussi une importance
extrême dans sa vie. Il existe aussi des pavages fractals et des pavages
déduits de la courbe du Dragon ou de courbes apparentées. Enfin, les pavages
non périodiques méritent une attention particulière.
Qu’est-ce qu’un
pavage ?
Le
pavage consiste à remplir une surface d'un motif particulier.
La caractéristique d’un pavage consiste en le fait que des pièces toutes
identiques (sauf par la couleur, éventuellement) peuvent s’agencer pour créer
une configuration remplissant tout un espace plan, sans laisser de vide.
Des exemples de pavages existent dans la vie courante (voir les pavages
recouvrant certaines places ou des rues piétonnes) et dans le domaine
artistique et culturel (voir les œuvres de Escher et les pavages des mosquées
et demeures musulmanes ; l’exemple le plus connu étant l’Alhambra de
Grenade).
On peut en faire un instrument pédagogique pour l’étude
des formes et leur position dans l’espace, ainsi que pour l’approche de
certaines notions géométriques. Pour réaliser un pavage, c’est seulement
l’observation de la pièce, et non des indices extérieurs, qui détermine son
agencement par rapport aux formes précédemment disposées.
Sur le plan pédagogique, il ne faut pas confondre le
principe des pavages avec des matériels proches mais qui reposent sur des
concepts différents :
Les puzzles. Dans les puzzles, des éléments figuratifs
facilitent très fréquemment le positionnement des pièces. Celles-ci ne sont pas
nécessairement toutes identiques du point de vue de leur forme. De plus, un
élément important du puzzle est son pourtour, matérialisé la plupart du temps,
en situation pédagogique, par un cadre rigide. Il facilite le placement des
pièces, particulièrement celles du bord. En définitive, chaque pièce n’a
d’intérêt que parce qu’elle participe à la constitution d’un ensemble réalisant
un motif.
Les mosaïques. Les pièces d’un jeu de mosaïques sont généralement fort simples
(carrés, ronds). Elles ne comportent pas en elles-mêmes de difficulté de
positionnement. Ces pièces ne sont pas nécessairement toutes identiques :
elles peuvent se différencier par la forme ou par des dispositions de couleurs.
Ce qui fait l’intérêt d’un jeu de mosaïques, c’est l’agencement des différentes
pièces afin de réaliser un motif esthétique ou une répétition d’un même motif
selon une règle donnée.
Les polyèdres réguliers ou semi réguliers
constituent des êtres particulièrement fascinants.
Etudiés depuis l'antiquité, outre leur aspect esthétique, leur étude a trouvé
des applications, parfois inattendues, en théorie des groupes.
Le
pavage de Truchet est très simple et remplit les surfaces de façon très
agréable. La représentation du pavage se complique si l'on désire tracer les
courbes dans la même couleur.
Biographie de Maurits Cornelis
Escher :
Maurits
Cornelis Escher est né le 17 juin 1898 à Leeuwarden en Hollande et est décédé
en 1972. Bien que durant toute sa vie il s'avoua incompétent en mathématiques,
dès son jeune âge, il était intrigué par la symétrie, les figures géométriques
et par les lois géométriques de la nature. Manifestant également un grand
attrait pour les arts, il consacra sa vie à la gravure et à l'art graphique.
Escher a
produit plus de 150 dessins en couleurs, dans lesquels s'imbriquaient des
créatures qui rampaient, nageaient ou planaient, emplissant tout le plan. Sans
entrer dans les détails mathématiques, notons que les oeuvres d'Escher
présentent souvent des transformations géométriques connues, telles la
translation, la rotation, la réflexion ou l'homothétie.
Enfin, un peu
avant sa mort, Escher a écrit : « Un de mes plus
grands plaisir est la fréquentation et l'amitié des mathématiciens, qui a
résulté de mon travail. Ils m'ont souvent donné des idées nouvelles et parfois
même je leur ai rendu la pareille. Que ces hommes et femmes si savants sont
joueurs ! »
Pavages
"à la Escher" :
Chacun a déjà observé des découpages réguliers du
plan. On connaît en particulier des pavages de nature différente, des
décorations murales de type fort varié. Escher
a effectué des recherches sur la répétition de motifs pour réaliser une de ses
œuvres.
En fait ces pavages sont extrêmement réguliers; non seulement les pavés sont
tous pareils, mais encore ils sont tous pareils lorsqu'ils sont considérés dans
leur environnement. De manière précise, il existe toujours une isométrie qui
amène un pavé sur un autre pavé quelconque, mais qui de plus conserve
l'ensemble du pavage. De plus ce pavage s'étend à l'infini; il existe donc des
translations dans des directions différentes. On peut caractériser, partiellement,
le pavage en décrivant son groupe d'automorphismes. Ce groupe contiendra
toujours des translations dans plusieurs directions, mais il pourra également
contenir des rotations, des symétries glissées, des symétries axiales.
Il n'est guère difficile de montrer qu'il ne peut exister que des rotations
d'ordre 2, 3, 4 ou 6. (Il suffit pour cela de prendre deux centres de rotation
d'ordre n à distance minimum, et de construire les transformés successifs de
ceux-ci pour trouver une contradiction dans les autres cas). Ces groupes
constituent ce que l'on appelle les groupes cristallographiques par analogie
avec les groupes conservant les cristaux dans l'espace euclidien à 3
dimensions. On peut montrer qu'il en existe 17 types.
Ceux-ci,
en noir et blanc, n’étaient que des esquisses des pavages richement colorés
d’Escher.
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